8.1. Regresszorválasztás, modellstruktúra választás

A fekete doboz modellstruktúra választása egyrészt a modellstruktúra-osztály megválasztását, másrészt az osztályon belüli tényleges struktúra kijelölését jelenti. A struktúra-osztály rögzítésekor azt határozzuk meg, hogy a regresszor milyen argumentumokból áll. Beszélhetünk olyan rendszerről, ahol a regresszor csak a régebbi bemeneti értékekből áll, de olyan rendszerről is, ahol a régebbi bemeneti értékek mellett figyelembe vehetjük a régebbi kimeneti értékeket is. A lineáris dinamikus rendszerek bemenet-kimenet reprezentáció (input-output representation) alapján történő csoportosításához [Lju99], [Sjö95] hasonlóan nemlineáris dinamikus rendszereknél az alábbi főbb modellstruktúra-osztályok megkülönböztetése célszerű:

  • NFIR modellek, ahol a regresszor csak a régebbi bemeneteket tartalmazza:

φ(k)=[x(k1),x(k2),...,x(kN)]MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCOXdmaabmaabaGaam4AaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iaabUfacaWG4bWaaeWaaeaacaWGRbGaeyOeI0IaaGymaaGaayjkaiaawMcaaiaacYcacaaMi8UaaGjcVlaadIhadaqadaqaaiaadUgacqGHsislcaaIYaaacaGLOaGaayzkaaGaaiilaiaayIW7caaMi8UaaiOlaiaayIW7caaMi8UaaGjcVlaayIW7caGGUaGaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGjcVlaac6cacaaMi8UaaGjcVlaayIW7caGGSaGaaGjcVlaayIW7caaMi8UaamiEamaabmaabaGaam4AaiabgkHiTiaad6eaaiaawIcacaGLPaaacaqGDbaaaa@6C2E@ . (8.3)

Az NFIR modellek a lineáris véges impulzusválaszú (FIR) szűrők nemlineáris megfelelőjeként olyan előrecsatolt modellek, ahol az emlékezetet a bemenetek régebbi értékeinek tárolása biztosítja.

  • NARX modellek, ahol a regresszor mind a régebbi bemeneteket, mind a régebbi rendszerkimeneteket magában foglalja:

φ(k)=[x(k1),x(k2),...,x(kN),d(k1),d(k2),...,d(kM)]MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=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@9C6C@ (8.4)

A NARX modell a lineáris külső gerjesztéssel ellátott autoregresszív (ARX, Auto-Regressive with eXogenous inputs) modell nemlineáris megfelelője. Valójában a NARX modell is előrecsatolt struktúra annak ellenére, hogy a leképezésben a régebbi kimeneti értékek is szerepelnek bemenetként. A kimeneti értékek azonban nem a modell régebbi kimenetei, hanem a kívánt válasz, a modellezendő rendszer kimenetének régebbi értékei. Ezért ezt a modell-struktúrát szokás soros-párhuzamos (series-parallel) struktúrának is nevezni [Nar89].

  • NOE modellek. Itt a regresszor a régebbi bemenetek mellett a modell régebbi kimeneteit is tartalmazza:

φ(k)=[x(k1),x(k2),...,x(kN),y(k1),y(k2),...,y(kM)]MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=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@9CAB@ . (8.5)

A NOE modell már igazi visszacsatolt rendszer, hiszen itt a kimenet pillanatnyi értékének meghatározásánál a modell-kimenet régebbi értékeit is felhasználjuk. A NOE elnevezés a lineáris OE (output error) struktúra elnevezéséből származik. A NOE struktúraosztályt a NARX modellnél használt soros-párhuzamos elnevezés mintájára párhuzamos (parallel) modell-osztálynak is szokás nevezni [Nar89].

  • NARMAX modellek. A NARMAX modellek a NARX modellek olyan bővítései, ahol a regresszor a régebbi bemenetek és kívánt válaszok mellett a modellezési hiba régebbi értékeit is tartalmazza:

φ(k)=[x(k1),...,x(kN),d(k1),...,d(kM),ε(k1),...,ε(kL)]MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCOXdmaabmaabaGaam4AaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iaabUfacaWG4bWaaeWaaeaacaWGRbGaeyOeI0IaaGymaaGaayjkaiaawMcaaiaacYcacaaMi8UaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaiOlaiaayIW7caaMi8UaaGjcVlaayIW7caGGUaGaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGjcVlaac6cacaaMi8UaaGjcVlaayIW7caGGSaGaaGjcVlaayIW7caaMi8UaamiEamaabmaabaGaam4AaiabgkHiTiaad6eaaiaawIcacaGLPaaacaGGSaGaaGjcVlaayIW7caaMi8UaamizamaabmaabaGaam4AaiabgkHiTiaaigdaaiaawIcacaGLPaaacaGGSaGaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaiOlaiaayIW7caaMi8UaaGjcVlaac6cacaaMi8UaaGjcVlaayIW7caGGUaGaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaiilaiaayIW7caaMi8UaamizamaabmaabaGaam4AaiabgkHiTiaad2eaaiaawIcacaGLPaaacaGGSaGaeqyTdu2aaeWaaeaacaWGRbGaeyOeI0IaaGymaaGaayjkaiaawMcaaiaacYcacaaMi8UaaGjcVlaayIW7caGGUaGaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGjcVlaac6cacaaMi8UaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaiOlaiaayIW7caaMi8UaaGjcVlaacYcacqaH1oqzdaqadaqaaiaadUgacqGHsislcaWGmbaacaGLOaGaayzkaaGaaeyxaaaa@B50B@ (8.6)

A hiba régebbi értékeinek figyelembevétele miatt ez is visszacsatolt modell annak ellenére, hogy a modell régebbi kimeneti értékei bemenetként nem szerepelnek.

  • NBJ modellek. A nemlineáris Box-Jenkins modelleknél a NOE modellhez hasonlóan a modell régebbi kimeneti értékeit csatoljuk vissza, továbbá kétfajta hiba régebbi értékeit is felhasználjuk:

φ(k)=[x(k1),...,x(kN),y(k1),...,y(kM),ε(k1),...,ε(kL),εx(k1),...,εx(kK)]MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=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@C2B3@ (8.7)

tehát a regresszorban a már definiált ε(ki)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyTdmaabmaabaGaam4AaiabgkHiTiaadMgaaiaawIcacaGLPaaaaaa@3B65@ értékeken kívül újabb hibaértékek is szerepelnek: εx(ki)=d(ki)yx(ki)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyTdmaaBaaaleaacaWG4baabeaakmaabmaabaGaam4AaiabgkHiTiaadMgaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpcaWGKbWaaeWaaeaacaWGRbGaeyOeI0IaamyAaaGaayjkaiaawMcaaiabgkHiTiaadMhadaWgaaWcbaGaamiEaaqabaGcdaqadaqaaiaadUgacqGHsislcaWGPbaacaGLOaGaayzkaaaaaa@4A4D@ . yx(ki)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaWG4baabeaakmaabmaabaGaam4AaiabgkHiTiaadMgaaiaawIcacaGLPaaaaaa@3C59@ -t egy olyan modell kimenetén nyerjük, ahol a (8.7) által megadott regresszorvektorban ε és εx helyére nullákat írunk.

A fenti modellosztályok mind bemenet-kimenet reprezentációt használnak, továbbá egy bemenetet és egy kimenetet tételeznek fel (single-input−single-output, SISO rendszerek). Kiterjesztésük több-bemenetűtöbb-kimenetű rendszerekre viszonylag természetes módon megtörténhet.

Rendszermodellezésnél a bemenet-kimenet reprezentációkon kívül gyakran alkalmazzuk az állapotváltozós leírást (state-space representation). Több-bemenetű−több-kimenetű rendszert feltételezve ekkor a nemlineáris dinamikus kapcsolatot az alábbi formában adjuk meg:

u(k)=f(u(k1),x(k1),b1(k1))y(k)=g(u(k),b2(k))MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacaWH1bGaaeikaiaadUgacaqGPaGaeyypa0JaaCOzaiaabIcacaWH1bGaaeikaiaadUgacqGHsislcaaIXaGaaeykaiaacYcacaWH4bGaaeikaiaadUgacqGHsislcaaIXaGaaeykaiaacYcacaWHIbWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaaeikaiaadUgacqGHsislcaaIXaGaaeykaiaabMcaaeaacaWH5bWaaeWaaeaacaWGRbaacaGLOaGaayzkaaGaeyypa0JaaC4zamaabmaabaGaaCyDaiaabIcacaWGRbGaaeykaiaacYcacaWHIbWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOWaaeWaaeaacaWGRbaacaGLOaGaayzkaaaacaGLOaGaayzkaaaaaaa@5CB9@ (8.8)

ahol u(k) az állapotvektor (melynek komponensei az állapotváltozók), x(k) a bemeneti vektor, f(.) a következő állapotot meghatározó nemlineáris vektorfüggvény, y(k) a nemlineáris dinamikus rendszer kimeneti vektora, g(.) a kimenetet meghatározó nemlineáris függvény, b1(k) és b2(k) pedig zajvektorok.

Sok esetben a fenti általánosabb állapotváltozós kapcsolat helyett az alábbi egyszerűbbet tételezzük fel:

u(k)=f(u(k1),x(k1))+ b1(k-1))y(k)=Cu(k)+b2(k)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacaWH1bGaaeikaiaadUgacaqGPaGaeyypa0JaaCOzaiaabIcacaWH1bGaaeikaiaadUgacqGHsislcaaIXaGaaeykaiaacYcacaWH4bGaaeikaiaadUgacqGHsislcaaIXaGaaeykaiaabMcacqGHRaWkcaqGGaGaaCOyamaaBaaaleaacaqGXaaabeaakiaabIcacaWGRbGaaeylaiaabgdacaqGPaGaaeykaaqaaiaahMhadaqadaqaaiaadUgaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpcaWHdbGaaCyDaiaabIcacaWGRbGaaeykaiabgUcaRiaahkgadaWgaaWcbaGaaeOmaaqabaGccaqGOaGaam4AaiaabMcaaaaa@5C3B@ (8.9)

ahol C a kimenetet meghatározó mátrix. Ez utóbbi esetben a kimenetek a belső állapotok lineáris függvényei[4].

A fenti modellosztályok eltérő szerepű és számú paramétert tartalmaznak. Az általános regressziós kapcsolatot megfogalmazó (8.1) összefüggésben ΘMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiMdaaa@36F9@ egy adott modellosztály összes paraméterét képviseli.

A bemutatott reprezentációs lehetőségek közötti választás csak a modellstruktúra-osztály megválasztását jelenti. Egy konkrét feladatnál a modellosztályon belül a tényleges modellstruktúra megválasztására, tehát a modellben szereplő paraméterek számának a meghatározására is szükség van. Ez input-output reprezentációnál a regresszorvektorban a ΘMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiMdaaa@36F9@ paramétervektor komponensei számának, tehát a régebbi bemeneti minták és megfelelő esetben a régebbi kimeneti értékek és hibaértékek számának meghatározását jelenti. Nemlineáris dinamikus rendszerek modellezésénél − de lineáris rendszerek modellezésénél is − talán a legnehezebb feladat a modellstruktúra-osztály és a modell fokszámának, vagyis a paraméterek számának a meghatározása. A modell-struktúra megválasztásának szempontjait és a modell-fokszám meghatározásnak néhány fontos módszerét a fejezet későbbi részében foglaljuk össze röviden.



[4] Az és összefüggésben a rendszermodellezésnél általánosan használatos jelölésektől − ahol x(k) az állapotvektort jelöli − eltértünk. Ennek oka, hogy a könyv eddigi jelölésrendszerének megfelelően x-szel most is a bemenetet jelöljük.