6.2. Kernel függvények

Az előzőekből nyilvánvaló, hogy kernel függvényként csak olyan függvény használható, amely belső szorzat segítségével is származtatható. A származtatás módjából következik, hogy a kernel függvények bizonyos tulajdonságokkal kell rendelkezzenek.

Egy kernel függvénynek mindig két argumentuma van és ezekre nézve a függvény szimmetrikus kell legyen:

K(xi,xj)=φ(xi)Tφ(xj)=φ(xj)Tφ(xi)=K(xj,xi)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4saiaabIcacaWH4bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaeilaiaahIhadaWgaaWcbaGaamOAaaqabaGccaqGPaGaeyypa0JaaCOXdiaabIcacaWH4bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaeykamaaCaaaleqabaGaamivaaaakiaahA8acaqGOaGaaCiEamaaBaaaleaacaWGQbaabeaakiaabMcacqGH9aqpcaWHgpGaaeikaiaahIhadaWgaaWcbaGaamOAaaqabaGccaqGPaWaaWbaaSqabeaacaWGubaaaOGaaCOXdiaabIcacaWH4bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaeykaiabg2da9iaadUeacaqGOaGaaCiEamaaBaaaleaacaWGQbaabeaakiaabYcacaWH4bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaeykaaaa@5C82@ . (6.17)

A kernel függvények – minthogy az adatok közötti hasonlóságot mérik – általában kielégítik a következő követelményeket is:

K(xi,xj)0K(xi,xj)=K(xixj)K(x,x)=max K(xi,xj)i,j=1,...,P.limt K(t)=0,ha t=xixjMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=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@F6F8@ (6.18)

A fentiek közül az első a nemnegativitást, a második a radiálisan szimmetrikus tulajdonságot jelenti. A harmadik feltételnek eleget tevő függvény maximumértéket vesz fel, ha mindkét argumentuma azonos, míg az utolsó azt fogalmazza meg, hogy a függvény a két argumentum távolságának monoton csökkenő függvénye.

A kernel függvényekkel támasztott követelmények precízebben is megfogalmazhatók: K(xi,xj)  MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4saiaabIcacaWH4bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaeilaiaahIhadaWgaaWcbaGaamOAaaqabaGccaqGPaGaaeiiaiaabccaaaa@3E3B@ lehet bármely olyan szimmetrikus függvény, amely kielégíti a Mercer tétel feltételeit [Vap98]:

K(x,z)f(x)f(z)dxdz0f0 függvényre,ahol  f2(x)dx<MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qaaeaadaWdbaqaaiaadUeacaqGOaGaaCiEaiaabYcacaWH6bGaaeykaaWcbeqab0Gaey4kIipaaSqabeqaniabgUIiYdGccaWGMbGaaeikaiaahIhacaqGPaGaamOzaiaabIcacaWH6bGaaeykaiaadsgacaWH4bGaaGjcVlaayIW7caWGKbGaaCOEaiabgwMiZkaaicdacaaMi8UaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGjcVlaayIW7cqGHaiIicaWGMbGaeyiyIKRaaGimaiaayIW7caaMi8UaaGjcVlaabccacaqGMbGaaei=aiaabEgacaqGNbGaaeODaiaabMoacaqGUbGaaeyEaiaabkhacaqGLbGaaeilaiaayIW7caaMi8UaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaeyyaiaabIgacaqGVbGaaeiBaiaabccacaqGGaWaa8qaaeaacaWGMbWaaWbaaSqabeaacaqGYaaaaOGaaeikaiaahIhacaqGPaaaleqabeqdcqGHRiI8aOGaamizaiaahIhacqGH8aapcqGHEisPaaa@841E@ , (6.19)

ugyanis a Mercer tételt kielégítő függvények előállíthatók valamilyen jellemzőtérbeli φj(x)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqOXdO2aaSbaaSqaaiaadQgaaeqaaOGaaeikaiaahIhacaqGPaaaaa@3B0E@ függvények skalár szorzataként:

K(x,z)=j=1λjφj(x)φj(z)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4saiaabIcacaWH4bGaaeilaiaahQhacaqGPaGaeyypa0ZaaabCaeaacqaH7oaBdaWgaaWcbaGaamOAaaqabaGccqaHgpGAdaWgaaWcbaGaamOAaaqabaGccaqGOaGaaCiEaiaabMcacaaMi8UaaGjcVlaayIW7cqaHgpGAdaWgaaWcbaGaamOAaaqabaaabaGaamOAaiabg2da9iaabgdaaeaacqGHEisPa0GaeyyeIuoakiaabIcacaWH6bGaaeykaaaa@5407@ (6.20)

ahol λj>0MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdW2aaSbaaSqaaiaadQgaaeqaaOGaeyOpa4JaaGimaaaa@3A6F@ . Néhány gyakran alkalmazott kernel függvényt az alábbi táblázatban foglalunk össze.

6.1. táblázat - A legelterjedtebben használt magfüggvények (kernel függvények).

Lineáris

K(x,xi)=xiTxMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4samaabmaabaGaaCiEaiaacYcacaWH4bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaGaeyypa0JaaCiEamaaDaaaleaacaWGPbaabaGaamivaaaakiaahIhaaaa@4109@

Polynomiális

(d fokszámú)

K(x,xi)=(xiTx+1)dMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4samaabmaabaGaaCiEaiaacYcacaWH4bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaGaeyypa0ZaaeWaaeaacaWH4bWaa0baaSqaaiaadMgaaeaacaWGubaaaOGaaCiEaiabgUcaRiaaigdaaiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiaadsgaaaaaaa@4545@

Gauss (RBF)

K(x,xi)=exp{xxi2/σ2}MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4samaabmaabaGaaCiEaiaacYcacaWH4bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaGaeyypa0JaaeyzaiaabIhacaqGWbWaaiWaaeaacqGHsisldaWcgaqaamaafmaabaGaaCiEaiabgkHiTiaahIhadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaaakiaawMa7caGLkWoadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaakeaacqaHdpWCdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaaGccaGL7bGaayzFaaaaaa@4DF6@ , ahol σMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4Wdmhaaa@3797@ konstans.

Tangens hiperbolikusz (MLP)

K(x,xi)=tanh(kxiTx+θ)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4samaabmaabaGaaCiEaiaacYcacaWH4bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaGaeyypa0JaaeiDaiaabggacaqGUbGaaeiAaiaabIcacaWGRbGaaGjcVlaayIW7caWH4bWaa0baaSqaaiaadMgaaeaacaWGubaaaOGaaCiEaiabgUcaRiabeI7aXjaabMcaaaa@4CC1@ , kMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4Aaaaa@36C4@ és θMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiUdehaaa@378A@ megfelelően választott konstansok, mert nem minden kombináció eredményez magfüggvényt.


A táblázat azt is jelzi, hogy egyes kernel függvények alkalmazásával olyan kernel térbeli hálóstruktúrát kapunk, amely bizonyos klasszikus neuronháló struktúrákhoz hasonló. Így pl. a Gauss kernel függvények az RBF hálóval rokon struktúrát, a tangens hiperbolikusz kernel függvény pedig olyan MLP hálózattal rokon struktúrát eredményez, melynek a kimeneti rétege lineáris.

A fenti, gyakran alkalmazott függvények mellett számos további függvényt használnak kernel függvényként. Megválasztásuk az egyes kernel gépeknél alapvetően fontos és sokszor igen nehéz kérdés. A választás nehézsége akkor jelentkezik, ha adott feladathoz „optimális” kernelt szeretnénk választani. Általában a gyakorlati feladatok megoldásánál nem is törekszünk „optimális” kernel megválasztására, hanem az előbb felsoroltak, vagy egyéb, szintén bevált függvények (pl. B-spline) közül választunk.

A kernel függvények megválasztásának illetve konstrukciójának részleteivel itt nem foglalkozunk, csak az igen széleskörű irodalomra utalunk ld. pl. [Sch02], stb. Annyit azonban megjegyzünk, hogy megfelelő kernelek konstrukciójánál fontos szerepet játszhat, hogy különböző műveletekkel érvényes kernelekből további kernelek képezhetők. Ha pl. mind K1, mind K2 érvényes kernel, továbbá, ha a tetszőleges pozitív konstans, akkor a következő műveletekkel további érvényes kernelek konstruálhatók:

K(x,z)=K1(x,z)+K2(x,z)K(x,z)=aK1(x,z)K(x,z)=K1(x,z)K2(x,z)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=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@663D@ (6.21)

Fentiekből az is következik, hogy kernelek lineáris kombinációja szintén kernel, ha a lineáris kombináció együtthatói nemnegatív számok.

A kernel függvények előre történő megválasztása mellett az utóbbi időben számos olyan eredmény született, mely adatfüggő vagy adaptív kernelekkel oldja meg a feladatokat. Erre vonatkozó eredményeket mutat be többek között pl. [Cri99], [Ama99], [Vin00], [Xio05] és [Mer06].

A későbbiekben látni fogjuk, hogy a kernel gépek konstrukciójánál fontos szerepet tölt be a kernel függvény (xi, xj) i, j=1, …, P tanító minta-páron értelmezett értékeiből képezett Kij=K(xi,xj) kernel mátrix, amely tartalmazza a P tanítópont összes lehetséges mintapárjánál a kernel függvény értékét.

K=[K(x1,x1)K(xi,x1)K(xP,x1)K(x1,xi)K(xi,xi)K(xP,xi)K(x1,xP)K(xi,xP)K(xP,xP)]MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaC4saiabg2da9maadmaabaqbaeqabuqbaaaaaeaacaWGlbGaaeikaiaahIhadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccaGGSaGaaCiEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiaabMcaaeaacqWIVlctaeaacaWGlbGaaeikaiaahIhadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccaGGSaGaaCiEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiaabMcaaeaacqWIVlctaeaacaWGlbGaaeikaiaahIhadaWgaaWcbaGaamiuaaqabaGccaGGSaGaaCiEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiaabMcaaeaacqWIUlstaeaacqWIXlYtaeaacqWIUlstaeaacqWIXlYtaeaacqWIUlstaeaacaWGlbGaaeikaiaahIhadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccaGGSaGaaCiEamaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiaabMcaaeaacqWIVlctaeaacaWGlbGaaeikaiaahIhadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccaGGSaGaaCiEamaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiaabMcaaeaacqWIVlctaeaacaWGlbGaaeikaiaahIhadaWgaaWcbaGaamiuaaqabaGccaGGSaGaaCiEamaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiaabMcaaeaacqWIUlstaeaacqWIXlYtaeaacqWIUlstaeaacqWIXlYtaeaacqWIUlstaeaacaWGlbGaaeikaiaahIhadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccaGGSaGaaCiEamaaBaaaleaacaWGqbaabeaakiaabMcaaeaacqWIVlctaeaacaWGlbGaaeikaiaahIhadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccaGGSaGaaCiEamaaBaaaleaacaWGqbaabeaakiaabMcaaeaacqWIVlctaeaacaWGlbGaaeikaiaahIhadaWgaaWcbaGaamiuaaqabaGccaGGSaGaaCiEamaaBaaaleaacaWGqbaabeaakiaabMcaaaaacaGLBbGaayzxaaaaaa@9720@ (6.22)

A kernel mátrix fontos jellemzője, hogy egy P×PMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiuaiabgEna0kaadcfaaaa@3995@ -es szimmetrikus mátrix. Az ilyen mátrixot szokás Gram mátrixnak is nevezni.