4. Feltételes szélsőérték-keresés, Lagrange multiplikátoros módszer [Fle86, Boy04]

A Lagrange multiplikátoros módszer egy hatékony eljárás a feltételes szélsőérték-keresési feladatok megoldására.

Legyen adott egy f(x)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadAgadaqadaqaaiaahIhaaiaawIcacaGLPaaaaaa@3C89@ függvény xNMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbeGaa8hEaiabgIGioprr1ngBPrwtHrhAYaqeguuDJXwAKbstHrhAGq1DVbacfaGae4xhHi1aaWbaaSqabeaacaWGobaaaaaa@4413@ és adottak a gi(x)=0MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadEgadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGcdaqadaqaaiaahIhaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpcaaIWaaaaa@3F6E@ feltételek. Keressük f(x)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadAgadaqadaqaaiaahIhaaiaawIcacaGLPaaaaaa@3C89@ szélsőértékét (minimumát vagy maximumát) úgy, hogy közben a gi(x)=0MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadEgadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGcdaqadaqaaiaahIhaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpcaaIWaaaaa@3F6E@ feltételek is teljesüljenek.

Definiáljuk az alábbi Lagrange függvényt:

L(x,α)=f(x)iαigi(x)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadYeadaqadaqaaiaahIhacaGGSaGaaCySdaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iaadAgadaqadaqaaiaahIhaaiaawIcacaGLPaaacqGHsisldaaeWbqaaiabeg7aHnaaBaaaleaacaWGPbaabeaaaeaacaWGPbaabaaaniabggHiLdGccaWGNbWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOWaaeWaaeaacaWH4baacaGLOaGaayzkaaaaaa@4E46@ (F.39)

ahol az αiMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabeg7aHnaaBaaaleaacaWGPbaabeaaaaa@3BCD@ együtthatók a Lagrange multiplikátorok. Figyeljük meg, hogy mind a szélsőértékfeladat, mind a feltételek figyelembevétele szerepel a Lagrange függvény szélsőértékére vonatkozó feladatban. Ugyanis

xL(x,α)=xf(x)xiαigi(x)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaGGabiab=DGirpaaBaaaleaacaWH4baabeaakiaadYeadaqadaqaaiaahIhacaGGSaGaaCySdaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iab=DGirpaaBaaaleaacaWH4baabeaakiaadAgadaqadaqaaiaahIhaaiaawIcacaGLPaaacqGHsislcqWFhis0daWgaaWcbaGaaCiEaaqabaGcdaaeWbqaaiabeg7aHnaaBaaaleaacaWGPbaabeaaaeaacaWGPbaabaaaniabggHiLdGccaWGNbWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOWaaeWaaeaacaWH4baacaGLOaGaayzkaaaaaa@5673@ (F.40)

vagyis

xL(x,α)=0xf(x)=xiαigi(x)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaGGabiab=DGirpaaBaaaleaacaWH4baabeaakiaadYeadaqadaqaaiaahIhacaGGSaGaaCySdaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iaaicdacaaMi8UaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGjcVlaayIW7caaMi8Uaeyi1HSTaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGjcVlab=DGirpaaBaaaleaacaWH4baabeaakiaadAgadaqadaqaaiaahIhaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpcqWFhis0daWgaaWcbaGaaCiEaaqabaGcdaaeWbqaaiabeg7aHnaaBaaaleaacaWGPbaabeaaaeaacaWGPbaabaaaniabggHiLdGccaWGNbWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOWaaeWaaeaacaWH4baacaGLOaGaayzkaaaaaa@7DA9@ (F.41)

αL(x,α)=0gi(x)=0MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaGGabiab=DGirpaaBaaaleaacaWHXoaabeaakiaadYeadaqadaqaaiaahIhacaGGSaGaaCySdaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iaaicdacaaMi8UaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGjcVlaayIW7caaMi8Uaeyi1HSTaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGjcVlaadEgadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGcdaqadaqaaiaahIhaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpcaaIWaaaaa@6FD6@ (F.42)

A következő egyszerű kétdimenziós feladaton illusztráljuk a Lagrange multiplikátoros módszer működését. Legyen a kétdimenziós függvényünk f(x)=2x12+x22MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadAgadaqadaqaaiaahIhaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpcaaIYaGaamiEamaaDaaaleaacaaIXaaabaGaaGOmaaaakiabgUcaRiaadIhadaqhaaWcbaGaaGOmaaqaaiaaikdaaaaaaa@447A@ . Keressük ennek a függvénynek a minimumát azzal a feltétellel, hogy x12+x22=1MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadIhadaqhaaWcbaGaaGymaaqaaiaaikdaaaGccqGHRaWkcaWG4bWaa0baaSqaaiaaikdaaeaacaaIYaaaaOGaeyypa0JaaGymaaaa@410E@ , vagyis g(x)=x12+x221=0MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadEgadaqadaqaaiaahIhaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpcaWG4bWaa0baaSqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaamiEamaaDaaaleaacaaIYaaabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaigdacqGH9aqpcaaIWaaaaa@4731@ . Az f(x)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadAgadaqadaqaaiaahIhaaiaawIcacaGLPaaaaaa@3C89@ függvény feltétel nélküli minimuma az x=[0,0]TMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahIhacqGH9aqpdaWadaqaaiaaicdacaGGSaGaaGimaaGaay5waiaaw2faamaaCaaaleqabaGaamivaaaaaaa@4037@ pontban van. Ez a pont azonban nyilvánvalóan nem elégíti ki a g(x)=0MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadEgadaqadaqaaiaahIhaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpcaaIWaaaaa@3E4A@ mellékfeltételt. A megfelelő Lagrange függvény:

L(x,α)=2x12+x22α(x12+x221)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadYeadaqadaqaaiaahIhacaGGSaGaaCySdaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iaaikdacaWG4bWaa0baaSqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaamiEamaaDaaaleaacaaIYaaabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiabeg7aHnaabmaabaGaamiEamaaDaaaleaacaaIXaaabaGaaGOmaaaakiabgUcaRiaadIhadaqhaaWcbaGaaGOmaaqaaiaaikdaaaGccqGHsislcaaIXaaacaGLOaGaayzkaaaaaa@524D@ (F.43)

Melynek x szerinti gradiense

L(x,α)x1=4x12αx1=0L(x,α)x2=2x22αx2=0L(x,α)α=(x12+x221)=0MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=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@7975@ (F.44)

A két első egyenletből α=2MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabeg7aHjabg2da9iaaikdaaaa@3C75@ illetve α=1MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabeg7aHjabg2da9iaaigdaaaa@3C74@ adódik, mely értékek mellett f(x)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadAgadaqadaqaaiaahIhaaiaawIcacaGLPaaaaaa@3C89@ minimumát az x1=0;x2=±1MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadIhadaqhaaWcbaGaaGymaaqaaaaakiabg2da9iaaicdacaGG7aGaaGjcVlaayIW7caaMi8UaamiEamaaDaaaleaacaaIYaaabaaaaOGaeyypa0JaeyySaeRaaGymaaaa@47D4@ pontban kapjuk (F.3.1 ábra).

F.3.1. ábra - Mintapélda a feltételes szélsőérték-keresésre. A vékonyabb vonallal rajzolt ellipszisek a minimalizálandó f(x) függvény szintvonalai, a vastagabb vonallal rajzolt kör pontjai a mellékfeltételnek megfelelő pontok. A két fekete pont a feltételes minimumot biztosító pontok.
Mintapélda a feltételes szélsőérték-keresésre. A vékonyabb vonallal rajzolt ellipszisek a minimalizálandó f(x) függvény szintvonalai, a vastagabb vonallal rajzolt kör pontjai a mellékfeltételnek megfelelő pontok. A két fekete pont a feltételes minimumot biztosító pontok.

Az ábrán jól látható, hogy az f(x)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadAgadaqadaqaaiaahIhaaiaawIcacaGLPaaaaaa@3C89@ függvény által meghatározott szintvonalak gradiensvektorai a feltételes minimumpontokban azonos irányúak, mint a mellékfeltételt megadó kör gradiensvektorai, vagyis a minimumpontokban a két görbe érinti egymást.