2. Gauss elimináció [Gol96b]

Az Ax=bMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeacaWH4bGaeyypa0JaaCOyaaaa@3CD0@ lineáris egyenletrendszer megoldására gyakran használt univerzális módszer a Gauss elimináció. Az egyenletrendszer mátrixai az alábbiak:

A=[a11a12a1na21a22a2nan1an2ann]MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=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@62F5@ , x=[x1x2xn]MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahIhacqGH9aqpdaWadaqaauaabeqaeeaaaaqaaiaadIhadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaaakeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaaGcbaGaeSO7I0eabaGaamiEamaaBaaaleaacaWGUbaabeaaaaaakiaawUfacaGLDbaaaaa@450F@ , b=[b1b2bn]MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahkgacqGH9aqpdaWadaqaauaabeqaeeaaaaqaaiaadkgadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaaakeaacaWGIbWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaaGcbaGaeSO7I0eabaGaamOyamaaBaaaleaacaWGUbaabeaaaaaakiaawUfacaGLDbaaaaa@44B7@ (F.33)

ahol AMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeaaaa@39DE@ az együttható mátrix, bMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahkgaaaa@39FF@ egy adott ismert értékekből álló vektor, az xMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahIhaaaa@3A15@ vektor pedig az ismeretleneket tartalmazó vektor. Egyszerűbb esetben az AMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeaaaa@39DE@ mátrix n×nMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVCI8FfYJH8YrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaad6gacqGHxdaTcaWGUbaaaa@39E6@ -es, de az algoritmus n×mMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVCI8FfYJH8YrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaad6gacqGHxdaTcaWGTbaaaa@39E5@ -es esetre is alkalmazható.

A megoldás bemutatása során a változók felírását gyakran elhagyjuk és az egyenletrendszert az alábbi kibővített mátrix segítségével írjuk fel:

[A b]=[a11a12a1nb1a21a22a2nb2an1an2annbn]MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=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@6DF6@ . (F.34)

Látható, hogy a kibővített mátrix az együttható mátrix kiegészítve a bMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahkgaaaa@39FF@ vektorral. A kiegészített [A b]MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaabUfacaWHbbGaaeiiaiaahkgacaqGDbaaaa@3D2A@ mátrix és az eredeti AMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeaaaa@39DE@ mátrix rangjára vonatkozóan:

- ha rang(A)=rang([Ab])=nMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaabkhacaqGHbGaaeOBaiaabEgacaqGOaGaaCyqaiaabMcacqGH9aqpcaqGYbGaaeyyaiaab6gacaqGNbGaaeikaiaabUfacaWHbbGaaCiiaiaahkgacaqGDbGaaeykaiabg2da9iaad6gaaaa@4B0F@ , akkor egy egyértelmű megoldás van.

- ha rang(A)=rang([Ab])<nMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaabkhacaqGHbGaaeOBaiaabEgacaqGOaGaaCyqaiaabMcacqGH9aqpcaqGYbGaaeyyaiaab6gacaqGNbGaaeikaiaabUfacaWHbbGaaCiiaiaahkgacaqGDbGaaeykaiabgYda8iaad6gaaaa@4B0D@ , akkor az egyenletnek végtelen sok megoldása van. Ilyen esetben lehet csökkenteni az ismeretlenek számát, majd valamilyen optimális megoldást (pl. a négyzetes hibaminimalizáló megoldás) keresni.

- ha rang(A)<rang([Ab])MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaabkhacaqGHbGaaeOBaiaabEgacaqGOaGaaCyqaiaabMcacqGH8aapcaqGYbGaaeyyaiaab6gacaqGNbGaaeikaiaabUfacaWHbbGaaCiiaiaahkgacaqGDbGaaeykaaaa@4914@ akkor nincs megoldás.

A mátrixon az egyenletrendszer eredményének változása nélkül az alábbi elemi sor-műveletek végezhetők:

  • egy vagy több egyenlet (sor) szorzása egy c konstanssal,

  • két vagy több egyenlet (sor) felcserélése,

  • egy egyenlet (sor) c-szeresének hozzáadása egy másik sorhoz.

A fentiek mellett az alábbi, oszlopok cseréjével járó művelet is elvégezhető:

az egyenletrendszerben a változók sorrendjét felcseréljük (ez oszlopok cseréjét jelenti, kibővítettmátrix esetén az utolsó oszlop kivételével).

Az alap eljáráshoz elegendő az első három elemi sor-művelet, de bizonyos esetekben (például a pontosság növeléséhez) az utolsó műveletet is alkalmazzuk. Erről a későbbiekben lesz szó (ld. pivotolás).

A fenti műveletek segítségével a mátrixot, illetve az egyenletrendszert egy olyan egyszerűbb alakra (pl. háromszög-, diagonál mátrix) hozhatjuk, amely esetén egyszerű a megoldás számítása.

[a11a12a1nb10a22a2nb200annbn]MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=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@631B@ (F.35)

az eredeti egyenletrendszert egy Rx=dMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahkfacaWH4bGaeyypa0JaaCizaaaa@3CE3@ felső háromszögmátrixot ( RMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahkfaaaa@39EF@ ) tartalmazó egyenletrendszerré alakítjuk, ami már egyszerű behelyettesítéssel megoldható. Az algoritmus egy köztes lépésében a

[a11a12a1nb10a22a2nb20a32a3nb30an2annbn]MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=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@6F45@ , (F.36)

az a32MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqadggagaqbamaaBaaaleaacaaIZaGaaGOmaaqabaaaaa@3BAB@ kinullázásához a második sort elosztjuk az a22MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqadggagaqbamaaBaaaleaacaaIYaGaaGOmaaqabaaaaa@3BAA@ generáló „pivot” elemmel majd ennek a32MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqadggagaqbamaaBaaaleaacaaIZaGaaGOmaaqabaaaaa@3BAB@ szorosát kivonjuk a harmadik sorból. Amennyiben a pivot elem helyén 0 áll, sorcserét kell alkalmazni (ha nincs nem 0 sor, akkor az adott oszlop megfelel az elvárásoknak).

A “pivot” vagy generáló elem, amint azt láthattuk fontos szerephez jut az algoritmus során. A számítási pontosság növelésére szolgál a pivotolás, amikor ezt a pivot elemet tudatosan választjuk ki, ahol a cél egy nagy értékű elem használata. Ez az elem sor illetve oszlop cserével mozgatható a megfelelő pozícióba. A részleges pivotolás (partial pivoting) esetén az adott oszlop abszolút értékben legnagyobb elemét használjuk, míg a teljes pivotolás (complete pivoting) esetén a mátrix oszlopait és sorait is cserélve mozgatjuk az abszolútértékben legnagyobb elemet a megfelelő pozícióba. Ebben az esetben (oszlopok cseréjénél) az ismeretlenek sorrendje is változik. A leggyakrabban elegendő az egyszerűbb részleges pivotolás alkalmazása.

A fentiekhez hasonlóan egy másik algoritmus, a Gauss-Jordan elimináció célja az alábbi diagonális mátrix alak:

[a1100b10a220b200annbn]MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaadmaabaqbaeqabqqbaaaaaeaacaWGHbWaaSbaaSqaaiaaigdacaaIXaaabeaaaOqaaiaaicdaaeaacqWIVlctaeaacaaIWaaabaGaamOyamaaBaaaleaacaaIXaaabeaaaOqaaiaaicdaaeaaceWGHbGbauaadaWgaaWcbaGaaGOmaiaaikdaaeqaaaGcbaGaeS47IWeabaGaaGimaaqaaiqadkgagaqbamaaBaaaleaacaaIYaaabeaaaOqaaiabl6Uinbqaaiabl6UinbqaaiablgVipbqaaiabl6Uinbqaaiabl6UinbqaaiaaicdaaeaacaaIWaaabaGaeS47IWeabaGabmyyayaafaWaaSbaaSqaaiaad6gacaWGUbaabeaaaOqaaiqadkgagaqbamaaBaaaleaacaWGUbaabeaaaaaakiaawUfacaGLDbaaaaa@5D15@ (F.37)

amit a Gauss eliminációnál alkalmazott műveletekkel érhetünk el. Ebben az esetben nincs szükség visszahelyettesítésekre, az eredmény azonnal számítható.