1. Mátrixok és vektorok [Gol96b], [Róz91]

Egy mátrix az {aij;i=1,2,,m;j=1,2,,n}MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaacmaabaGaamyyamaaBaaaleaacaWGPbGaamOAaaqabaGccaGG7aGaaGjcVlaayIW7caaMi8UaamyAaiabg2da9iaaigdacaGGSaGaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGOmaiaacYcacaaMi8UaaGjcVlaayIW7cqWIMaYscaGGSaGaaGjcVlaayIW7caaMi8UaamyBaiaacUdacaWGQbGaeyypa0JaaGymaiaacYcacaaMi8UaaGjcVlaayIW7caaIYaGaaiilaiablAciljaacYcacaWGUbaacaGL7bGaayzFaaaaaa@665B@ elemek alábbi elrendezése, ahol az elemek általában számok vagy függvények:

A=[a11a12a1na21a22a2nam1an2amn]MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=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@62F3@ (F.1)

Az A mátrix tömör megadása:

A=[aij]m×nMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeacqGH9aqpdaWadaqaaiaadggadaWgaaWcbaGaamyAaiaadQgaaeqaaaGccaGLBbGaayzxaaGaaGjcVlaayIW7daWgaaWcbaGaamyBaiabgEna0kaad6gaaeqaaaaa@4719@ (F.2)

ahol aijMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadggadaWgaaWcbaGaamyAaiaadQgaaeqaaaaa@3C03@ az i-edik sor j-edik eleme. Egy m×1 mátrix egy oszlopvektor. Az aiMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahggadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaaaaa@3B18@ vektor az A mátrix i-edik (i=1, 2, …, n) oszlopvektora. Egy A mátrix felírható az oszlopvektorai segítségével:

A=[a1a2an]MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeacqGH9aqpdaWadaqaauaabeqabqaaaaqaaiaahggadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaaakeaacaWHHbWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaaGcbaGaeSOjGSeabaGaaCyyamaaBaaaleaacaWGUbaabeaaaaaakiaawUfacaGLDbaaaaa@43D3@ (F.3)

Mátrixok összeadása, konstanssal való szorzása

Ha az A és B mátrixok mérete azonos (m×n), akkor értelmezhető a két mátrix összeadása:

C=A+B     ahol     cij=aij+bijMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahoeacqGH9aqpcaWHbbGaey4kaSIaaCOqaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeyyaiaabIgacaqGVbGaaeiBaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaam4yamaaBaaaleaacaWGPbGaamOAaaqabaGccqGH9aqpcaWGHbWaaSbaaSqaaiaadMgacaWGQbaabeaakiabgUcaRiaadkgadaWgaaWcbaGaamyAaiaadQgaaeqaaaaa@5237@ (F.4)

Az összeadás kommutatív:

A+B = B+A MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeacqGHRaWkcaWHcbGaaeiiaiabg2da9iaabccacaWHcbGaey4kaSIaaCyqaiaabccaaaa@40F1@ (F.5)

Egy mátrix skalárral való szorzása a mátrix elemeinek skalárral való szorzását jelenti:

B=kAMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahkeacqGH9aqpcaWGRbGaaCyqaaaa@3C9F@ ahol bij=kaijMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadkgadaWgaaWcbaGaamyAaiaadQgaaeqaaOGaeyypa0Jaam4AaiaadggadaWgaaWcbaGaamyAaiaadQgaaeqaaaaa@40F3@ (F.6)

Mátrixok szorzása

Ha A egy (m×p)-s mátrix és B egy (p×n)-es mátrix, akkor a két mátrix összeszorozható. A C szorzatmátrix egy (m×n)-es mátrix lesz:

C=AB     ahol     cij=k=1paikbkji,jreMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahoeacqGH9aqpcaWHbbGaaCOqaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeyyaiaabIgacaqGVbGaaeiBaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaam4yamaaBaaaleaacaWGPbGaamOAaaqabaGccqGH9aqpdaaeWbqaaiaadggadaWgaaWcbaGaamyAaiaadUgaaeqaaOGaamOyamaaBaaaleaacaWGRbGaamOAaaqabaaabaGaam4Aaiabg2da9iaaigdaaeaacaWGWbaaniabggHiLdGccaaMi8UaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGjcVlabgcGiIiaadMgacaGGSaGaamOAaiabgkHiTiaadkhacaWGLbaaaa@6910@ (F.7)

A szorzás nem kommutatív, tehát általában:

ABBA    MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeacaWHcbGaeyiyIKRaaCOqaiaahgeacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaaaaa@4091@ (F.8)

A szorzás asszociatív:

ABC=A(BC)=(AB)C     MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeacaWHcbGaaC4qaiabg2da9iaahgeadaqadaqaaiaahkeacaWHdbaacaGLOaGaayzkaaGaeyypa0ZaaeWaaeaacaWHbbGaaCOqaaGaayjkaiaawMcaaiaahoeacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaaaa@4884@ (F.9)

A mátrix transzponáltja

Egy A mátrix transzponáltja az a B=AT mátrix melynek elemeire igaz, hogy:

bij=aji       i,j-reMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadkgadaWgaaWcbaGaamyAaiaadQgaaeqaaOGaeyypa0JaamyyamaaBaaaleaacaWGQbGaamyAaaqabaGccaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaeyiaIiIaamyAaiaabYcacaWGQbGaaeylaiaabkhacaqGLbaaaa@4A6B@ (F.10)

A transzponált mátrixokra fennállnak a következő összefüggések:

(AT)T= A    (AB)T= BTAT(A+B)T= AT+BTMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOabaeqabaWaaeWaaeaacaWHbbWaaWbaaSqabeaacaWGubaaaaGccaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacaWGubaaaOGaeyypa0JaaeiiaiaahgeacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaaabaWaaeWaaeaacaWHbbGaaCOqaaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaamivaaaakiabg2da9iaabccacaWHcbWaaWbaaSqabeaacaWGubaaaOGaaCyqamaaCaaaleqabaGaamivaaaaaOqaamaabmaabaGaaCyqaiabgUcaRiaahkeaaiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiaadsfaaaGccqGH9aqpcaqGGaGaaCyqamaaCaaaleqabaGaamivaaaakiabgUcaRiaahkeadaahaaWcbeqaaiaadsfaaaaaaaa@5760@ (F.11)

Szimmetrikus mátrix, diagonálmátrix, egységmátrix

Legyen A egy (n×n)-es mátrix. Ha A=AT, akkor az A mátrix szimmetrikus. Ha aji=0    ij-reMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadggadaWgaaWcbaGaamOAaiaadMgaaeqaaOGaeyypa0JaaeimaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacqGHaiIicaWGPbGaeyiyIKRaamOAaiaab2cacaqGYbGaaeyzaaaa@4753@ , akkor A diagonálmátrix.

A=diag(a11,a22,,ann)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeacqGH9aqpcaqGKbGaaeyAaiaabggacaqGNbWaaeWaaeaacaWGHbWaaSbaaSqaaiaaigdacaaIXaaabeaakiaacYcacaaMi8UaaGjcVlaayIW7caWGHbWaaSbaaSqaaiaaikdacaaIYaaabeaakiaacYcacaaMi8UaaGjcVlaayIW7cqWIMaYscaGGSaGaaGjcVlaayIW7caaMi8UaamyyamaaBaaaleaacaWGUbGaamOBaaqabaaakiaawIcacaGLPaaaaaa@5981@ (F.12)

Ha a diagonálmátrix minden diagonális eleme egységnyi, akkor a mátrix az egységmátrix.

I=diag(1,1,,1)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahMeacqGH9aqpcaqGKbGaaeyAaiaabggacaqGNbWaaeWaaeaacaaIXaGaaiilaiaayIW7caaMi8UaaGjcVlaaigdacaGGSaGaaGjcVlaayIW7caaMi8UaeSOjGSKaaiilaiaayIW7caaMi8UaaGjcVlaaigdaaiaawIcacaGLPaaaaaa@5392@ (F.13)

Az egységmátrixszal végzett szorzásra igaz, hogy

AI= IA =A   MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeacaWHjbGaeyypa0JaaeiiaiaahMeacaWHbbGaaeiiaiabg2da9iaahgeacaqGGaGaaeiiaiaabccaaaa@4251@ (F.14)

A mátrix determinánsa

Az A (n×n)-es kvadratikus mátrix determinánsa |A|MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaaemaabaGaaCyqaaGaay5bSlaawIa7aaaa@3D00@ , melyet (az első sor szerint kifejtve) a következőképpen kapunk meg:

|A|=a11|a22a23a2na32a33a3nan2an3ann|   a12|a21a23a2na31a33a3nan1an3ann|+a13|a21a22a24a2na31a32a34a3nan1an2an4ann|MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=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@E5AF@ (F.15)

Szinguláris mátrix, a mátrix inverze, pszeudoinverz

Legyen A egy (n×n)-es kvadratikus mátrix. A mátrix szinguláris, ha |A|=0.MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaaemaabaGaaCyqaaGaay5bSlaawIa7aiabg2da9iaaicdacaGGUaaaaa@3F72@ Ha a kvadratikus mátrix nemszinguláris, akkor és csak akkor létezik egy olyan B mátrix melyre

AB= BA =I   MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeacaWHcbGaeyypa0JaaeiiaiaahkeacaWHbbGaaeiiaiabg2da9iaahMeacaqGGaGaaeiiaiaabccaaaa@424B@ (F.16)

A B= A1  MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahkeacqGH9aqpcaqGGaGaaCyqamaaCaaaleqabaGaeyOeI0IaaGymaaaakiaabccacaqGGaaaaa@3F77@ mátrixot az A mátrix (multiplikatív) inverzének nevezzük [Pen55].

Fontos tulajdonságok az inverzre:

(αA)1=α1A1(A1)T=(AT)1Ha A1 és A2 (n×n)-es nemszinguláris mátrixokakkor (A1A2)1=(A2)1(A1)1MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=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@9349@ (F.17)

Minden ARm×nMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeacqGHiiIZtCvAUfKttLearyqsTbNCP5gDG0evGmfAHr2B3bacfaGae8Nuai1aaWbaaSqabeaacaWGTbGaey41aqRaamOBaaaaaaa@496E@ mátrixhoz létezik egy egyértelmű AMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeadaahaaWcbeqaaiaabcciaaaaaa@3ACE@ mátrix, melyet az A mátrix pszeudoinverzének vagy Moore–Penrose inverzének nevezünk. A pszeudoinverzre a következő összefüggések teljesülnek:

AAA= A    AAA= A(AA)T= AA(AA)T= AAMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=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@5BEF@ (F.18)

Ha A nemszinguláris, kvadratikus mátrix, akkor a pszeudoinverz megegyezik a mátrix inverzével, vagyis: MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVCI8FfYJH8YrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOaa@35E8@A=A1MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeadaahaaWcbeqaaiaabcciaaGccqGH9aqpcaWHbbWaaWbaaSqabeaacqGHsislcaaIXaaaaaaa@3E7D@ .

Ha ATAMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeadaahaaWcbeqaaiaadsfaaaGccaWHbbaaaa@3BB8@ vagy AATMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeacaWHbbWaaWbaaSqabeaacaWGubaaaaaa@3BAE@ nemszinguláris, a pszeudoinverz definiálható mint:

A=(ATA)1ATMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeadaahaaWcbeqaaiaabcciaaGccqGH9aqpdaqadaqaaiaahgeadaahaaWcbeqaaiaadsfaaaGccaWHbbaacaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacqGHsislcaaIXaaaaOGaaCyqamaaCaaaleqabaGaamivaaaaaaa@43BA@ (F.19)

illetve, mint

A=AT(AAT)1MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeadaahaaWcbeqaaiaabcciaaGccqGH9aqpcaWHbbWaaWbaaSqabeaacaWGubaaaOWaaeWaaeaacaWHbbGaaCyqamaaCaaaleqabaGaamivaaaaaOGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaeyOeI0IaaGymaaaaaaa@43BA@ (F.20)

Az előbbi esetben szokás a mátrix pszeudoinverzét az alábbi módon is definiálni:

A=limυ0(ATA+υ2I)1ATMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeadaahaaWcbeqaaiaabcciaaGccqGH9aqpdaWfqaqaaiaabYgacaqGPbGaaeyBaaWcbaGaeqyXduNaeyOKH4QaaGimaaqabaGcdaqadaqaaiaahgeadaahaaWcbeqaaiaadsfaaaGccaWHbbGaey4kaSIaeqyXdu3aaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaaCysaaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaeyOeI0IaaGymaaaakiaahgeadaahaaWcbeqaaiaadsfaaaaaaa@4FA4@ , (F.21)

míg az utóbbi esetben az alábbi definíció alkalmazható:

A=limυ0AT(AAT+υ2I)1MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeadaahaaWcbeqaaiaabcciaaGccqGH9aqpdaWfqaqaaiaabYgacaqGPbGaaeyBaaWcbaGaeqyXduNaeyOKH4QaaGimaaqabaGccaWHbbWaaWbaaSqabeaacaWGubaaaOWaaeWaaeaacaWHbbGaaCyqamaaCaaaleqabaGaamivaaaakiabgUcaRiabew8a1naaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaahMeaaiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiabgkHiTiaaigdaaaaaaa@4FA4@ (F.22)

Néhány hasznos összefüggés a pszeudoinverzre:

(A)= A    (αA)= α-1A(A)T= (AT)    AAT(A)T= AAAAT= AT(A)TATA= AATAA= ATMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOabaeqabaWaaeWaaeaacaWHbbWaaWbaaSqabeaacaqGGacaaaGccaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacaqGGacaaOGaeyypa0JaaeiiaiaahgeacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaaabaWaaeWaaeaacqaHXoqycaWHbbaacaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacaqGGacaaOGaeyypa0Jaaeiiaiabeg7aHnaaCaaaleqabaGaaeylaiaabgdaaaGccaWHbbWaaWbaaSqabeaacaqGGacaaaGcbaWaaeWaaeaacaWHbbWaaWbaaSqabeaacaqGGacaaaGccaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacaWGubaaaOGaeyypa0JaaeiiamaabmaabaGaaCyqamaaCaaaleqabaGaamivaaaaaOGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaeiiGaaakiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccaaeaacaWHbbGaaCyqamaaCaaaleqabaGaamivaaaakmaabmaabaGaaCyqamaaCaaaleqabaGaaeiiGaaaaOGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaamivaaaakiabg2da9iaabccacaWHbbaabaGaaCyqamaaCaaaleqabaGaaeiiGaaakiaahgeacaWHbbWaaWbaaSqabeaacaWGubaaaOGaeyypa0JaaeiiaiaahgeadaahaaWcbeqaaiaadsfaaaaakeaadaqadaqaaiaahgeadaahaaWcbeqaaiaabcciaaaakiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiaadsfaaaGccaWHbbWaaWbaaSqabeaacaWGubaaaOGaaCyqaiabg2da9iaabccacaWHbbaabaGaaCyqamaaCaaaleqabaGaamivaaaakiaahgeacaWHbbWaaWbaaSqabeaacaqGGacaaOGaeyypa0JaaeiiaiaahgeadaahaaWcbeqaaiaadsfaaaaaaaa@7D9C@ (F.23)

Mátrix inverziós lemma

A Sherman-Morrison-Woodbury formula számos esetben hasznos lehet (A+BC)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaabmaabaGaaCyqaiabgUcaRiaahkeacaWHdbaacaGLOaGaayzkaaaaaa@3DE0@ inverzének meghatározásánál, amennyiben AMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeaaaa@39DE@ és (I+CA1B)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaabmaabaGaaCysaiabgUcaRiaahoeacaWHbbWaaWbaaSqabeaacqGHsislcaaIXaaaaOGaaCOqaaGaayjkaiaawMcaaaaa@4091@ nemszingulárisak.

(A+BC)1=A1A1B(I+CA1B)1CA1MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaabmaabaGaaCyqaiabgUcaRiaahkeacaWHdbaacaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacqGHsislcaaIXaaaaOGaeyypa0JaaCyqamaaCaaaleqabaGaeyOeI0IaaGymaaaakiabgkHiTiaahgeadaahaaWcbeqaaiabgkHiTiaaigdaaaGccaWHcbWaaeWaaeaacaWHjbGaey4kaSIaaC4qaiaahgeadaahaaWcbeqaaiabgkHiTiaaigdaaaGccaWHcbaacaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacqGHsislcaaIXaaaaOGaaC4qaiaahgeadaahaaWcbeqaaiabgkHiTiaaigdaaaaaaa@5496@ (F.24)

Vektorok lineáris függetlensége

Legyen egy a1,a2,,anMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahggadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccaGGSaGaaGjcVlaayIW7caWHHbWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOGaaiilaiaayIW7caaMi8UaeSOjGSKaaiilaiaayIW7caaMi8UaaCyyamaaBaaaleaacaWGUbaabeaaaaa@4B6C@ ,  aimMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaabccacaWHHbWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaeyicI48efv3ySLgznfgDOjdaryqr1ngBPrginfgDObcv39gaiuaacqWFDeIudaahaaWcbeqaaiaad2gaaaaaaa@4920@ vektorkészletünk az és legyenek α1, α2, …, αn skalárok.

A c=i=1nαiaiMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahogacqGH9aqpdaaeWbqaaiabeg7aHnaaBaaaleaacaWGPbaabeaaaeaacaWGPbGaeyypa0JaaGymaaqaaiaad6gaa0GaeyyeIuoakiaahggadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaaaaa@45A6@ vektort az {ai}MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaacmaabaGaaCyyamaaBaaaleaacaWGPbaabeaaaOGaay5Eaiaaw2haaaaa@3D53@ vektorok lineáris kombinációjának nevezzük. Az {ai}MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaacmaabaGaaCyyamaaBaaaleaacaWGPbaabeaaaOGaay5Eaiaaw2haaaaa@3D53@ vektorok lineárisan függetlenek, ha a c=0 akkor és csak akkor áll fenn, ha αi=0ireMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabeg7aHnaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiabg2da9iaaicdacaaMi8UaaGjcVlaayIW7caaMi8UaeyiaIiIaamyAaiabgkHiTiaadkhacaWGLbaaaa@4867@ .

Egy Am×nMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeacqGHiiIZtuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3BaGqbaiab=1risnaaCaaaleqabaGaamyBaiabgEna0kaad6gaaaaaaa@4A43@ mátrix oszlopvektorai akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha ATAMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeadaahaaWcbeqaaiaadsfaaaGccaWHbbaaaa@3BB8@ nemszinguláris, a sorvektorai pedig akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha AATMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeacaWHbbWaaWbaaSqabeaacaWGubaaaaaa@3BAE@ nemszinguláris.

A mátrix rangja

Az AMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeaaaa@39DE@ mátrix rangja a maximális számú lineárisan független oszlopvektorainak a száma, vagy alternatív definícióként a maximális számú lineárisan független sorvektorainak a száma.

Egy AMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeaaaa@39DE@ (m×n)-es mátrix teljes rangú, ha

rang(A)=min{m,n}. (F.25)

Megmutatható, hogy egy tetszőleges A mátrixra

 rang(A)=rang(AT)=rang(ATA)=rang(AAT)MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaabccacaqGYbGaaeyyaiaab6gacaqGNbGaaeikaiaahgeacaqGPaGaeyypa0JaaeOCaiaabggacaqGUbGaae4zaiaabIcacaWHbbWaaWbaaSqabeaacaWGubaaaOGaaeykaiabg2da9iaabkhacaqGHbGaaeOBaiaabEgacaqGOaGaaCyqamaaCaaaleqabaGaamivaaaakiaahgeacaqGPaGaeyypa0JaaeOCaiaabggacaqGUbGaae4zaiaabIcacaWHbbGaaCyqamaaCaaaleqabaGaamivaaaakiaabMcaaaa@58E1@ (F.26)

Egy A egy (n×n)-es kvadratikus mátrix akkor és csak akkor nemszinguláris, ha teljes rangú, vagyis rang(A)=n.

Sajátértékek, sajátvektorok

Legyen A egy (n×n)-es kvadratikus mátrix. Ha létezik olyan λ skalár és olyan nemzérus v vektor, melyre fennáll. hogy

Av=λvMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaahgeacaWH2bGaeyypa0Jaeq4UdWMaaCODaaaa@3E96@ (F.27)

akkor λ-t a mátrix sajátértékének, v-t pedig a megfelelő sajátvektornak nevezzük.

A mátrix összes sajátértéke megkapható a

|AλI|=0MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaaemaabaGaaCyqaiabgkHiTiabeU7aSjaahMeaaiaawEa7caGLiWoacqGH9aqpcaaIWaaaaa@4233@ (F.28)

karakterisztikus polinom gyökeiként. Ha a sajátértékek egyszeres gyökök, akkor minden sajátértékhez egy sajátvektor-készlet tartozik, melynek elemei csak egy nullától különböző szorzóban térnek el egymástól. Többszörös gyökök esetén egy sajátértékhez több sajátvektor is tartozhat. Ezek a sajátvektorok nem konstans szorzóban különböznek. Diagonálmátrix sajátértékei maguk a főátlóban lévő elemek.

Ha az A mátrix nemszinguláris, akkor összes sajátértéke nullától különböző és a mátrix inverzének sajátértékei a mátrix sajátértékeinek reciprokai.

Egy szimmetrikus mátrix sajátértékei mind valós számok. A szimmetrikus mátrix sajátvektorai ortogonális vektor-készletet alkotnak, vagyis

viTvj=0  ha  ijviTvi0MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOabaeqabaGaaCODamaaDaaaleaacaWGPbaabaGaamivaaaakiaahAhadaqhaaWcbaGaamOAaaqaaaaakiabg2da9iaaicdacaaMi8UaaGjcVlaayIW7caqGGaGaaeiiaiaabIgacaqGHbGaaeiiaiaabccacaWGPbGaeyiyIKRaamOAaaqaaiaahAhadaqhaaWcbaGaamyAaaqaaiaadsfaaaGccaWH2bWaa0baaSqaaiaadMgaaeaaaaGccqGHGjsUcaaIWaaaaaa@5451@ (F.29)

A maximális és minimális sajátértékekre fennállnak az alábbi összefüggések (Rayleigh hányados)

λmax(A)=maxv0vTAvvTvés     λmin(A)=minv0vTAvvTvMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=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@797D@ (F.30)

Ha egy A szimmetrikus mátrix minden sajátértéke szigorúan pozitív (λi > 0 , i=1, 2, …, n), a mátrix pozitív definit. Ha a sajátértékek nemnegatívak, akkor a mátrix pozitív szemidefinit. A mátrix nemdefinit, ha van legalább egy pozitív és legalább egy negatív sajátértéke.

Ha A egy olyan mátrix, hogy  ATA=AATMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaabccacaWHbbWaaWbaaSqabeaacaWGubaaaOGaaCyqaiabg2da9iaahgeacaWHbbWaaWbaaSqabeaacaWGubaaaaaa@3FFB@ , akkor a mátrix az alábbi szorzat formájában előállítható:

A=VΛVT (F.31)

ahol V a mátrix sajátvektoraiból, mint oszlopvektorokból képezett ortogonális mátrix, Λ pedig a sajátértékek diagonálmátrixa.

A mátrix nyoma

Egy kvadratikus A (n×n)-es mátrix nyoma a főátlóbeli elemeinek az összege. A mátrix nyoma a sajátértékeinek összegeként is meghatározható.

tr(A)=i=1naii=i=1nλiMathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqkLspw0le9v8qqaqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaabshacaqGYbWaaeWaaeaacaWHbbaacaGLOaGaayzkaaGaeyypa0ZaaabCaeaacaWGHbWaaSbaaSqaaiaadMgacaWGPbaabeaaaeaacaWGPbGaeyypa0JaaGymaaqaaiaad6gaa0GaeyyeIuoakiabg2da9maaqahabaGaeq4UdW2aaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaaqaaiaadMgacqGH9aqpcaaIXaaabaGaamOBaaqdcqGHris5aaaa@50D7@ (F.32)