2. A2. Vektorok, mátrixok és lineáris algebra

A matematikusok egy vektort egy vektortérelemként definiálnak. Mi azonban konkrétabb definíciót fogunk használni. Egy vektor az értékek egy rendezett szekvenciája. A kétdimenziós térben például olyan vektoraink vannak, mint: x = ⟨3, 4⟩ és y = ⟨0, 2⟩. A szokásos konvencióhoz folyamodunk vastagon szedett betűket használva a vektorneveknek, bár egyes szerzők a nevek fölé nyilat vagy vonalat húznak: . Egy vektor elemeire indexekkel lehet hivatkozni: z = ⟨z1, z2, …, zn⟩.

A vektorokon értelmezett két alapvető művelet a vektorok összeadása és egy skalárral való szorzása. Az x + y vektorösszeadás az elemenkénti összegzés: x + y = ⟨3 + 0, 4 + 2⟩ = ⟨3, 6⟩. A skalárszorzás mindegyik elemet egy konstans értékkel szorozza be: 5x = ⟨5 × 3, 5 × 4⟩ = ⟨15, 20⟩.

Egy vektor hosszát az |x| jelöli, amelynek értéke egyenlő a vektor elemeinek négyzetösszegéből vett négyzetgyökével: . Két vektor skalárszorzata, x · y a megfelelő vektorelemek szorzatának összege, azaz , vagy konkrét esetünkben x · y = 3 × 0 + 4 × 2 = 8.

A vektorokat sokszor egy n-dimenziós euklideszi tér irányított vonalszakaszainak (nyilaknak) képzeljük. Ekkor a vektorösszeadás annak felel meg, mintha az egyik vektor kezdő pontját a másik vektor végpontjához illesztenénk, az x · y skalárszorzat viszont |x||y|cosθ-vel lesz egyenlő, ahol θ az x és az y közötti szög.

Egy mátrix az értékek négyszögletes elrendezése sorokba és oszlopokba. Itt egy 3 × 4 méretű m mátrixot látunk:

Az mi,j első indexe a sort, a második az oszlopot jelöli. Programozási nyelvekben mi,j-t gyakran m[i,j], vagy m[i][j]-nek írják.

Két mátrix összegét a megfelelő elemek összeadásával definiáljuk: (m + n)i,j = mi,j + ni,j. (Az összeg különböző méretű m és n mátrixokra nincs definiálva.) Egy mátrixnak egy skalárral történő szorzatát szintén definiálhatjuk: (cm)i,j = cmi,j. A mátrixszorzat (két mátrix szorzata) már bonyolultabb. Az mn szorzat csak akkor definiált, ha az m mátrix a × b, az n mátrix pedig b × c méretű (azaz a második mátrixnak annyi sora van, mint amennyi oszlopa az első mátrixnak). Az eredmény egy a × c méretű mátrix. Ez azt jelenti, hogy a mátrixszorzat nem kommutatív: általánosságban mn nm. Ha a mátrixok megfelelő méretűek, akkor az eredmény:

Az I egységmátrix Ii,j elemei egységnyiek, ha i = j, különben nullák. Az egységmátrix tulajdonsága, hogy mI = m, minden m-re. Az m transzponáltját, mT-t, megkapjuk, ha az m sorait és oszlopait felcseréljük, formálisan: .

A mátrixokat lineáris egyenletrendszerek megoldására a Gauss–Jordan-eliminációs (Gauss–Jordan elimination) algoritmussal használjuk, ami egy O(n3) komplexitású algoritmus. Tekintsünk az alábbi egyenletrendszert, amelynek x, y és z megoldására vagyunk kíváncsiak:

+2x + yz = 8

–3xy + 2z = –11

–2x + y + 2z = –3

Ezt az egyenletrendszert kifejezhetjük mátrixos formában is:

Itt az x y z c nem része a mátrixnak, csak emlékeztetőül szolgál. Tudjuk, hogy ha egy egyenlet mindkét oldalát egy konstanssal megszorozzuk, vagy ha két egyenletet egymáshoz hozzáadunk, akkor szintén egy érvényes egyenlethez jutunk el. A Gauss– Jordan-elimináció ezeket a lépéseket ismételten alkalmazza úgy, hogy először az első változót (az x-et) elimináljuk, az elsőt kivéve az összes egyenletből, majd folytatjuk minden i-re, az i-edik változót minden egyenletből eliminálva, az i-edik egyenletet kivéve. Az x-et a második egyenletből úgy elimináljuk, hogy az első egyenletet 3/2-vel megszorozzuk, az eredményt pedig a második egyenlethez hozzáadjuk. Ezzel az alábbi mátrixhoz jutunk el:

Folytatjuk így eliminálva az x-et, az y-t és a z-t, míg végül a:

mátrixot kapjuk, amely jelzi, hogy a megoldás x = 2, y = 3, z = –1. (Próbálja ki!)